Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(m) un=3 ne^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por e também calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de entender como funcionam as potências exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência. Isso significa substituir por 1, 2, 3 e 4 na fórmula .

Passo 3

Para u1 = 3 times 1e^2 times 1 = 3e^2 approx 37,389 approx 0,406 :

Passo 4

Para u2 = 3 times 2e^2 times 2 = 6e^4 approx 654,598 approx 0,110 :

Passo 5

Para u3 = 3 times 3e^2 times 3 = 9e^6 approx 9403,429 approx 0,022 :

Passo 6

Para u4 = 3 times 4e^2 times 4 = 12e^8 approx 122980,958 approx 0,004 :

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito, ou seja, .
Sabemos que cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Portanto, o denominador fica gigante em relação ao numerador, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente , , e . Além disso, o limite da sequência quando tende ao infinito é .

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