Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral(raiz[3]x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para isso, vamos precisar saber como integrar potências de e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão integral(x^2/3 + 1) dx de uma forma mais simples para facilitar a integração. Sabemos que . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração que vamos usar é:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde e é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a regra para cada termo:
  1. Para integral x^2/3 dx = x^2/3 + 12/3 + 1 = x^5/35/3 = 35x^5/3 :
integral 1 , dx = x
  1. Para 35x^5/3 + x + C :
Então, somando os dois resultados:

Passo 5

Para confirmar que a integração está correta, vamos derivar o resultado e ver se voltamos à função original. Derivando ddx(35x^5/3) = 35 cdot 53x^2/3 = x^2/3 :
ddx(x) = 1
ddx(C) = 0
x^2/3 + 1
Somando tudo:
Que é exatamente a função original dentro da integral.

Resposta

A integral indefinida é:
35x^5/3 + x + C

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