Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral x(3-4 x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a antiderivada da função integral x(3-4 x^2)^2 d x. Isso está relacionado com o conteúdo de integração, mais especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que dentro da função temos (3 - 4x^2). Vamos chamar esse termo de u:
u = 3 - 4x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para usar na substituição. Calculando:
dudx = -8x Rightarrow du = -8x , dx
Queremos expressar x , dx em termos de du:
x , dx = -18 du

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x(3-4 x^2)^2 d x = integral (u)^2 (-18) du = -18 integral u^2 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^2 em relação a u:
integral u^2 du = u^33 + C
Então, substituindo de volta:
-18 cdot u^33 + C = -124 u^3 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u pela expressão original 3 - 4x^2:
-124 (3 - 4x^2)^3 + C

Resposta

A antiderivada é -dfrac124(3 - 4x^2)^3 + C.

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