Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral raiz[3]x d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral indefinida de raiz[3]x em relação a x. Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente da integral de funções potenciais. Para resolver, vamos usar as regras básicas de integração de potências e depois confirmar o resultado fazendo a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever raiz[3]x de uma forma mais fácil de integrar. Sabemos que a raiz cúbica pode ser escrita como uma potência:
raiz[3]x = x^1/3

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da integração de potências. A regra diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n neq -1 e C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, onde n = 13:
integral x^1/3 , dx = x^1/3 + 11/3 + 1 + C = x^4/34/3 + C
Simplificando:
x^4/34/3 = 34 x^4/3
Então:
integral raiz[3]x , dx = 34 x^4/3 + C

Passo 5

Para confirmar que encontramos a antiderivada correta, vamos derivar 34 x^4/3 + C e ver se voltamos a raiz[3]x:
ddx ( 34 x^4/3 ) = 34 cdot 43 x^4/3 - 1 = x^1/3 = raiz[3]x
Como a derivada voltou a função original, nossa integral está correta.

Resposta

A integral indefinida de raiz[3]x é 34 x^4/3 + C.

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