Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral(2 x+1)(x^2+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a antiderivada da função . Isso faz parte de Cálculo, especificamente da matéria de integração. Para resolver isso, a gente vai precisar expandir a expressão e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os parênteses para simplificar a integral. Isso significa multiplicar cada termo de (2x + 1)(x^2 + x) = 2x cdot x^2 + 2x cdot x + 1 cdot x^2 + 1 cdot x por cada termo de .

Passo 3

Agora, vamos calcular cada multiplicação:
2x cdot x^2 = 2x^3
2x cdot x = 2x^2
1 cdot x^2 = x^2
1 cdot x = x
Então, a expressão expandida fica:
2x^3 + 2x^2 + x^2 + x

Passo 4

Vamos combinar os termos semelhantes:
2x^3 + (2x^2 + x^2) + x = 2x^3 + 3x^2 + x

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
integral (2x^3 + 3x^2 + x) , dx
A gente vai integrar cada termo separadamente. A regra básica é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos aplicar a regra de integração a cada termo:

Passo 7

Juntando tudo, a antiderivada fica:
12x^4 + x^3 + 12x^2 + C

Resposta

A antiderivada de 12x^4 + x^3 + 12x^2 + C é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral(raiz[3]x^2+1) d x
Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral raiz[3]x d x
integral 1 d x
integral 3 x d x