Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral 3(3 x-1)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de antiderivadas, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída. Observamos que é uma função adequada para substituição porque ela está elevada a uma potência e tem sua própria derivada presente na integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral:
u = 3x - 1
Agora, derivamos dudx = 3 Rightarrow du = 3,dx Rightarrow dx = du3 em relação a :

Passo 4

Substituímos integral 3(3x - 1)^4 dx = integral 3u^4 cdot du3 = integral u^4 du e na integral original:
Aqui, os 3 se cancelam, simplificando a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, integramos integral u^4 du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, fazemos a substituição de volta, substituindo u^55 + C = (3x - 1)^55 + C por :

Resposta

A antiderivada é .

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