Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
Passo 1
Estamos com um exercício de cálculo integral. Precisamos encontrar a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos utilizar técnicas de integração básicas e depois confirmar nosso resultado derivando a função encontrada.
Passo 2
Primeiro, lembramos que integrar uma expressão como
implica aumentar a potência de
em 1 e depois dividir pelo novo expoente. A fórmula geral para a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função
, temos que o expoente
é 2. Então, aumentamos o expoente para 3 e dividimos pelo novo expoente:
Passo 4
Simplificando a expressão, o 3 no numerador e o 3 no denominador se cancelam:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Para confirmar que nossa integração está correta, vamos derivar a função
em relação a
. A derivada de
é:
E a derivada da constante
é zero. Então:
Isso confirma que nossa integral está correta.
Resposta
A integral indefinida de
é
.
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Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
Considerando que
determine o valor da constante de integração para cada caso: