Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral 3 t^2 d t

Passo 1

Estamos com um exercício de cálculo integral. Precisamos encontrar a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos utilizar técnicas de integração básicas e depois confirmar nosso resultado derivando a função encontrada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que integrar uma expressão como integral t^n dt = t^n+1n+1 + C implica aumentar a potência de em 1 e depois dividir pelo novo expoente. A fórmula geral para a integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função integral 3t^2 dt = 3 cdot t^33 + C , temos que o expoente é 2. Então, aumentamos o expoente para 3 e dividimos pelo novo expoente:

Passo 4

Simplificando a expressão, o 3 no numerador e o 3 no denominador se cancelam:
3 cdot t^33 = t^3
Portanto, a integral fica:
integral 3t^2 dt = t^3 + C

Passo 5

Para confirmar que nossa integração está correta, vamos derivar a função ddt (t^3) = 3t^2 em relação a ddt (t^3 + C) = 3t^2 . A derivada de é:
E a derivada da constante é zero. Então:
Isso confirma que nossa integral está correta.

Resposta

A integral indefinida de é .

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F(0)=7
integral(3 x+14) d x
F(2)=-14