Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral(x^2-2 x+3) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a regra de integração termo a termo. Precisamos saber como integrar potências de e termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples usando a propriedade da linearidade da integral:
integral(x^2 - 2x + 3) dx = integral x^2 dx - 2integral x dx + integral 3 dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente.
Para o primeiro termo, integral x^n dx = x^n+1n+1 + C , usamos a regra de potência:
integral x^2 dx = x^33
onde . Aqui, , então:

Passo 4

Para o segundo termo, integral x dx = x^22 , aplicamos a mesma regra. Aqui, -2integral x dx = -2 cdot x^22 = -x^2 :
Portanto:

Passo 5

Para o terceiro termo, integral 3 dx = 3x , estamos integrando uma constante. A integral de uma constante em relação a é :

Passo 6

Agora, juntamos todas as partes integradas:
integral(x^2 - 2x + 3) dx = x^33 - x^2 + 3x + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Para confirmar a resposta, vamos derivar a função que obtivemos e ver se volta ao integrando original.
A derivada de ddx(x^33 - x^2 + 3x + C) = x^2 - 2x + 3 é , a derivada de é , a derivada de é , e a derivada de é . Então, temos:
Que é exatamente o que queríamos!

Resposta

integral(x^2 - 2x + 3) dx = x^33 - x^2 + 3x + C

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integral(3 x+14) d x
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integral(3 x+14) d x
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