Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a regra de integração termo a termo. Precisamos saber como integrar potências de
e termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples usando a propriedade da linearidade da integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo individualmente.
Para o primeiro termo,
, usamos a regra de potência:
onde
. Aqui,
, então:
Passo 4
Para o segundo termo,
, aplicamos a mesma regra. Aqui,
:
Portanto:
Passo 5
Para o terceiro termo,
, estamos integrando uma constante. A integral de uma constante
em relação a
é
:
Passo 6
Agora, juntamos todas as partes integradas:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para confirmar a resposta, vamos derivar a função que obtivemos e ver se volta ao integrando original.
A derivada de
é
, a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então, temos:
Que é exatamente o que queríamos!
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
Considerando que
determine o valor da constante de integração para cada caso:
Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
.