Determine a integral , onde é o círculo , usando o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha , onde é o círculo . A gente vai usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial para converter integrais de linha em integrais duplas. Para isso, vamos precisar identificar as funções que estão dentro da integral e entender como aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral. Na expressão , podemos ver que:
  • (a função multiplicando )
  • (a função multiplicando )
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
Ou seja, a integral de linha original também será zero.

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva , onde é a elipse .
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
30.
.
Determine o valor da integral de linha , onde é o triângulo com vértices em e .