Determine a integral ointC(y d x+x d y), onde C é o círculo x^2+y^2=16, usando o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha , onde é o círculo . A gente vai usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial para converter integrais de linha em integrais duplas. Para isso, vamos precisar identificar as funções que estão dentro da integral e entender como aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral. Na expressão , podemos ver que:
  • (a função multiplicando )
  • (a função multiplicando )
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 1 = 0

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0
Ou seja, a integral de linha original também será zero.

Resposta

A integral vale 0.

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