Determine a integral
, onde
é o círculo
, usando o Teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha
, onde
é o círculo
. A gente vai usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial para converter integrais de linha em integrais duplas. Para isso, vamos precisar identificar as funções que estão dentro da integral e entender como aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral. Na expressão
, podemos ver que:
-
(a função multiplicando ) -
(a função multiplicando )
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
.
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Ou seja, a integral de linha original também será zero.
Resposta
A integral
vale 0.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva
, onde
é a elipse
.
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.
31.
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
30.
.
30.
Determine o valor da integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices em
e
.