Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
30. f(t) = { 1, 0 <= t < 1, -1, 1 <= t < 2 }
f(t+2) = f(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é definida por partes:
Além disso, sabemos que , o que significa que a função é periódica com período . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace para funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que relaciona a transformada de uma função periódica com a sua forma em um único período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Transformada de Laplace para uma função periódica de período :
Essa fórmula basicamente diz que para encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica, a gente calcula a transformada de um único período e ajusta isso pela periodicidade.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. Temos que o período , então precisamos calcular a integral de de 0 a 2.
Vamos dividir a integral nos intervalos onde a função tem valores constantes:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:

Passo 6

Substituímos o resultado da integral na fórmula da Transformada de Laplace para funções periódicas:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é .

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