Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
30.
.
30.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é definida por partes:
Além disso, sabemos que
, o que significa que a função é periódica com período
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace para funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que relaciona a transformada de uma função periódica com a sua forma em um único período.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Transformada de Laplace para uma função periódica
de período
:
Essa fórmula basicamente diz que para encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica, a gente calcula a transformada de um único período e ajusta isso pela periodicidade.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. Temos que o período
, então precisamos calcular a integral de
de 0 a 2.
Vamos dividir a integral nos intervalos onde a função
tem valores constantes:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 5
Agora, somamos as duas integrais:
Passo 6
Substituímos o resultado da integral na fórmula da Transformada de Laplace para funções periódicas:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é
.
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Determine a integral
, onde
é o círculo
, usando o Teorema de Green.
Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva
, onde
é a elipse
.
Determine o valor da integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices em
e
.
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto