Determine o valor da integral de linha , onde é o triângulo com vértices em e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha , onde é o triângulo com vértices em , e . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha, que basicamente somam pequenas contribuições ao longo de um caminho. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicá-la em curvas fechadas, como nosso triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral de linha que temos: . Isso significa que, ao longo da curva , estamos somando os produtos de com as variações de ( ) e de com as variações de ( ). Essa é uma forma de calcular, por exemplo, o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho.

Passo 3

Agora, vamos notar que a expressão pode ser reconhecida como a diferencial total de . Isso porque:
Então, podemos reescrever nossa integral como:
Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 4

Como é um triângulo, que é uma curva fechada (ou seja, começa e termina no mesmo ponto), podemos aplicar uma propriedade das integrais de diferenciais exatos. Se a integral de uma diferencial total é calculada ao longo de uma curva fechada, o resultado é zero. Isso acontece porque o que importa é a diferença dos valores de nos pontos inicial e final, e como são o mesmo ponto, a diferença é zero.

Passo 5

Portanto, aplicando essa propriedade, temos:
Isso nos dá diretamente o valor da integral sem precisar calcular ao longo de cada aresta do triângulo.

Resposta

O valor da integral de linha é .

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