Determine o valor da integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha, que basicamente somam pequenas contribuições ao longo de um caminho. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicá-la em curvas fechadas, como nosso triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral de linha que temos:
. Isso significa que, ao longo da curva
, estamos somando os produtos de
com as variações de
(
) e de
com as variações de
(
). Essa é uma forma de calcular, por exemplo, o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho.
Passo 3
Agora, vamos notar que a expressão
pode ser reconhecida como a diferencial total de
. Isso porque:
Então, podemos reescrever nossa integral como:
Isso simplifica bastante as coisas!
Passo 4
Como
é um triângulo, que é uma curva fechada (ou seja, começa e termina no mesmo ponto), podemos aplicar uma propriedade das integrais de diferenciais exatos. Se a integral de uma diferencial total é calculada ao longo de uma curva fechada, o resultado é zero. Isso acontece porque o que importa é a diferença dos valores de
nos pontos inicial e final, e como são o mesmo ponto, a diferença é zero.
Passo 5
Portanto, aplicando essa propriedade, temos:
Isso nos dá diretamente o valor da integral sem precisar calcular ao longo de cada aresta do triângulo.
Resposta
O valor da integral de linha é
.
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.
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, onde
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