Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva , onde é a elipse .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos usar o Teorema de Green para encontrar a área da região que está dentro de uma elipse, que é definida pela equação . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para calcular áreas de regiões fechadas como essa elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada e uma região limitada por , a integral de linha ao redor de de é igual à integral dupla sobre de . Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos uma forma específica onde e , o que simplifica a expressão para:
Á

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva , que é a elipse . Uma parametrização comum para uma elipse é:
onde varia de a para percorrer toda a elipse uma vez.

Passo 4

Com a parametrização definida, precisamos encontrar as derivadas e :
Mas, como a fórmula para a área que vamos usar é Á, só precisamos de .

Passo 5

Agora, substituímos e na integral de linha:
Á
Sabemos que , então:
Integrando termo a termo:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é .

Exercícios relacionados

Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.
Determine os pontos críticos das funções:
a)
Determine a integral , onde é o círculo , usando o Teorema de Green.
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
30.
.