Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva
, onde
é a elipse
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos usar o Teorema de Green para encontrar a área da região que está dentro de uma elipse, que é definida pela equação
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para calcular áreas de regiões fechadas como essa elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada
e uma região
limitada por
, a integral de linha ao redor de
de
é igual à integral dupla sobre
de
. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos uma forma específica onde
e
, o que simplifica a expressão para:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
, que é a elipse
. Uma parametrização comum para uma elipse é:
onde
varia de
a
para percorrer toda a elipse uma vez.
Passo 4
Com a parametrização definida, precisamos encontrar as derivadas
e
:
Mas, como a fórmula para a área que vamos usar é
, só precisamos de
.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral de linha:
Sabemos que
, então:
Integrando termo a termo:
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é
.
Exercícios relacionados
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.
31.
Determine os pontos críticos das funções:
a)
a)
Determine a integral
, onde
é o círculo
, usando o Teorema de Green.
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30.
.
30.