Determine a integral que representa a área da superfície: toro gerado pela rotação da curva ao redor da reta .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para determinar a integral que representa a área da superfície de um toro. Esse toro é formado pela rotação da curva ao redor da reta .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com Geometria Analítica e Cálculo Integral, especificamente com superfícies de revolução.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos entender como calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de uma reta, usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem .
Teoria Aplicada: Quando giramos uma curva em torno de uma reta, formamos uma superfície de revolução. A área dessa superfície pode ser calculada usando a fórmula da área de superfície de revolução.

Passo 3

A reta de rotação é . Para calcular a área da superfície do toro, precisamos usar a fórmula da área de superfície de revolução em relação a uma reta qualquer. A fórmula geral é:
Explicação: Aqui, representa a distância entre um ponto da curva e a reta de rotação. O termo é o fator que ajusta para a inclinação da curva.

Passo 4

No nosso caso, a reta de rotação é . A distância de um ponto da curva até essa reta é:
Como nossa curva está centrada na origem e varia de a , podemos simplificar para:
Teoria Aplicada: Utilizamos a distância entre um ponto e uma reta para determinar o fator na fórmula da área de superfície.

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a curva para expressar em função de ou vice-versa. A equação do círculo pode ser reescrita para :
Teoria Aplicada: Ao parametrizar a curva, facilitamos o cálculo da derivada necessária na fórmula da área de superfície.

Passo 6

Calculamos a derivada de em relação a :
Agora, elevamos ao quadrado:
Explicação: A derivada nos ajuda a determinar a inclinação da curva em cada ponto, essencial para calcular a área da superfície.

Passo 7

Substituímos e na fórmula da área:
Simplificando o radical:

Passo 8

Então, a integral fica:
Substituindo :

Resposta

A integral que representa a área da superfície do toro é:

Exercícios relacionados

Sob que condições ? Explique.
Encontre os valores de tais que a área da região delimitada pelas parábolas seja 576.
Determine todos os números reais que satisfazem a desigualdade, expresse a solução com s notação de intervalos e represente-a na reta numérica.
Sugestão: Use que e que e , que vimos em sala de aula. Lembrando que vale também para .