Determine a integral que representa a área da superfície: toro gerado pela rotação da curva
ao redor da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para determinar a integral que representa a área da superfície de um toro. Esse toro é formado pela rotação da curva
ao redor da reta
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com Geometria Analítica e Cálculo Integral, especificamente com superfícies de revolução.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos entender como calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de uma reta, usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
.
Teoria Aplicada: Quando giramos uma curva em torno de uma reta, formamos uma superfície de revolução. A área dessa superfície pode ser calculada usando a fórmula da área de superfície de revolução.
Passo 3
A reta de rotação é
. Para calcular a área da superfície do toro, precisamos usar a fórmula da área de superfície de revolução em relação a uma reta qualquer. A fórmula geral é:
Explicação: Aqui,
representa a distância entre um ponto da curva e a reta de rotação. O termo
é o fator que ajusta para a inclinação da curva.
Passo 4
No nosso caso, a reta de rotação é
. A distância
de um ponto
da curva até essa reta é:
Como nossa curva está centrada na origem e
varia de
a
, podemos simplificar
para:
Teoria Aplicada: Utilizamos a distância entre um ponto e uma reta para determinar o fator
na fórmula da área de superfície.
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a curva para expressar
em função de
ou vice-versa. A equação do círculo pode ser reescrita para
:
Teoria Aplicada: Ao parametrizar a curva, facilitamos o cálculo da derivada necessária na fórmula da área de superfície.
Passo 6
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, elevamos ao quadrado:
Explicação: A derivada nos ajuda a determinar a inclinação da curva em cada ponto, essencial para calcular a área da superfície.
Passo 7
Substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando o radical:
Passo 8
Então, a integral fica:
Substituindo
:
Resposta
A integral que representa a área da superfície do toro é:
Exercícios relacionados
Sob que condições
? Explique.
Encontre os valores de
tais que a área da região delimitada pelas parábolas
seja 576.
Determine todos os números reais que satisfazem a desigualdade, expresse a solução com s notação de intervalos e represente-a na reta numérica.
Sugestão: Use que e que
e
, que vimos em sala de aula. Lembrando que vale também para
.
Sugestão: Use que