Encontre a série de Maclaurin de f(x) = e^(-x^2) + cos(x) e seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin de e o raio de convergência dela. A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin para e para , e depois juntar essas duas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para , onde é qualquer expressão. A série é dada por:
No nosso caso, onde , substituímos na série:
Então, essa é a série de Maclaurin para .

Passo 3

Agora, vamos lembrar a série de Maclaurin para . Sabemos que:
Essa é uma série alternada que só inclui os termos pares, já que é uma função par.

Passo 4

Agora que temos as duas séries, vamos somá-las para obter a série de Maclaurin de :
Podemos escrever isso como uma única série:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência da série, vamos analisar cada parte separadamente. A série de tem raio de convergência infinito porque a série de converge para todo . Já a série de também tem raio de convergência infinito. Portanto, a soma das duas séries também tem raio de convergência infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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