Encontre a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin de
e o raio de convergência dela. A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin para
e para
, e depois juntar essas duas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para
, onde
é qualquer expressão. A série é dada por:
No nosso caso, onde
, substituímos na série:
Então, essa é a série de Maclaurin para
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a série de Maclaurin para
. Sabemos que:
Essa é uma série alternada que só inclui os termos pares, já que
é uma função par.
Passo 4
Agora que temos as duas séries, vamos somá-las para obter a série de Maclaurin de
:
Podemos escrever isso como uma única série:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência da série, vamos analisar cada parte separadamente. A série de
tem raio de convergência infinito porque a série de
converge para todo
. Já a série de
também tem raio de convergência infinito. Portanto, a soma das duas séries também tem raio de convergência infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.