Determine a integral de:
integral sen(2 x)1+3 sen^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas e uma integral que envolve um quociente de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identities trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica dupla: . Vamos substituir isso na integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que o denominador e o numerador tem termos em e dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) dx . Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral 2 sen(x) cos(x)1 + 3 sen^2(x) dx = 2 integral u cdot du1 + 3u^2 . Sabemos que , então precisamos ajustar a integral para usar :

Passo 5

Agora, temos uma integral em termos de 2 integral u1 + 3u^2 du :
dvdu = 6u Rightarrow du = dv6u
Para resolver isso, vamos fazer outra substituição. Vamos deixar , então:

Passo 6

Substituindo na integral:
2 integral uv cdot dv6u = 26 integral 1v dv = 13 integral 1v dv

Passo 7

A integral de 13 ln|v| + C em relação a 13 ln|1 + 3 sen^2(x)| + C é o logaritmo natural:
Lembrando que e , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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