Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma condição inicial:
O conteúdo aqui é equações diferenciais, especificamente verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução particular usando a condição inicial dada. Vamos precisar conhecer o que é uma equação diferencial exata e como resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Aqui, e .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante do tipo , ou seja, que depende apenas de .
O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que já calculamos:
Aqui, parece complicado encontrar somente em função de . Então, vamos tentar um fator integrante , que depende apenas de .

Passo 4

Vamos assumir que o fator integrante existe e depende apenas de . Então, a condição para é:
Substituindo:
Isso também parece não resolver facilmente, indicando que talvez precisemos de outro método. Vamos tentar reorganizar a equação.

Passo 5

Vamos reescrever a equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por :
Então, isolando :

Passo 6

Agora, vamos tentar usar uma substituição para simplificar. Observe que o denominador e o numerador têm termos semelhantes. Vamos tentar definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo que encontramos:
Isso ainda está complicado, então talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos tentar encontrar uma solução particular supondo que a equação seja linear ou possa ser rearranjada de uma forma que facilite a integração. Observando a equação original:
Podemos tentar rearranjar para separar termos de e .

Passo 8

Vamos organizar os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando e :
Isso sugere que podemos tentar integrar os termos que envolvem e .

Passo 9

Vamos tentar integrar os termos:
Para , podemos pensar em uma função tal que e .
Integramos em relação a :
Onde é uma função de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Isso implica que:
Mas, isso não faz sentido porque deveria depender apenas de . Isso indica que nossa equação não é exata e precisamos de outro método.

Passo 10

Finalmente, vamos reconsiderar encontrar um fator integrante que nos ajude a tornar a equação exata. Vamos tentar um fator integrante tal que:
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Aqui, ainda temos uma dependência de , o que sugere que talvez precisamos de um fator integrante diferente ou uma abordagem alternativa. Dada a complexidade, vamos optar por resolver numericamente ou considerar que pode haver uma solução implícita.

Resposta

Após seguir os passos, conclui-se que a equação não possui uma solução particular fácil de determinar com os métodos adotados. Recomenda-se revisar os métodos de resolução de equações diferenciais exatas ou utilizar técnicas avançadas para encontrar a solução específica.

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