Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma condição inicial:
O conteúdo aqui é equações diferenciais, especificamente verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução particular usando a condição inicial dada. Vamos precisar conhecer o que é uma equação diferencial exata e como resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Aqui,
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante do tipo
, ou seja, que depende apenas de
.
O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores que já calculamos:
Aqui, parece complicado encontrar
somente em função de
. Então, vamos tentar um fator integrante
, que depende apenas de
.
Passo 4
Vamos assumir que o fator integrante
existe e depende apenas de
. Então, a condição para
é:
Substituindo:
Isso também parece não resolver facilmente, indicando que talvez precisemos de outro método. Vamos tentar reorganizar a equação.
Passo 5
Vamos reescrever a equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos tentar usar uma substituição para simplificar. Observe que o denominador e o numerador têm termos semelhantes. Vamos tentar definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
que encontramos:
Isso ainda está complicado, então talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos tentar encontrar uma solução particular supondo que a equação seja linear ou possa ser rearranjada de uma forma que facilite a integração. Observando a equação original:
Podemos tentar rearranjar para separar termos de
e
.
Passo 8
Vamos organizar os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando
e
:
Isso sugere que podemos tentar integrar os termos que envolvem
e
.
Passo 9
Vamos tentar integrar os termos:
Para
, podemos pensar em uma função
tal que
e
.
Integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Isso implica que:
Mas, isso não faz sentido porque
deveria depender apenas de
. Isso indica que nossa equação não é exata e precisamos de outro método.
Passo 10
Finalmente, vamos reconsiderar encontrar um fator integrante que nos ajude a tornar a equação exata. Vamos tentar um fator integrante
tal que:
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Aqui, ainda temos uma dependência de
, o que sugere que talvez precisamos de um fator integrante diferente ou uma abordagem alternativa. Dada a complexidade, vamos optar por resolver numericamente ou considerar que pode haver uma solução implícita.
Resposta
Após seguir os passos, conclui-se que a equação não possui uma solução particular fácil de determinar com os métodos adotados. Recomenda-se revisar os métodos de resolução de equações diferenciais exatas ou utilizar técnicas avançadas para encontrar a solução específica.
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