Determine os pontos extremos (estacionários) da função
. Determine também a natureza destes pontos (máximo, mínimo ou de sela)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos extremos da função
. Isso quer dizer que vamos procurar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas. Precisaremos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero (os pontos críticos) e depois analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, como a função está mudando naquele ponto. A derivada de
será denotada por
.
Dada a função:
Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a funç��o pode ter máximos ou mínimos), vamos resolver a equação
:
Podemos fatorar a expressão:
Assim, temos duas situações:
-
⟹ -
⟹
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a natureza desses pontos críticos, ou seja, se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Quando a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Então, precisamos analisar de outra forma, por exemplo, olhando a derivada primeira ao redor do ponto.
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja,
�� um ponto de mínimo local.
Para
, analisando a derivada primeira:
- Se pegarmos um valor ligeiramente menor que 0, por exemplo,
:
- Se pegarmos um valor ligeiramente maior que 0, por exemplo,
:
Como a derivada permanece negativa passando por
, isso indica que
não é um ponto de máximo ou mínimo, sendo então um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos extremos da função
são:
-
: ponto de mínimo local. -
: é um ponto de inflexão (não é máximo nem mínimo).
Exercícios relacionados
Sejam
. Expresse cada uma das funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre
e
. d)
Resolva as seguintes inequalities: g)
Determine a integral de: