Determine os pontos extremos (estacionários) da função . Determine também a natureza destes pontos (máximo, mínimo ou de sela)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos extremos da função . Isso quer dizer que vamos procurar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas. Precisaremos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero (os pontos críticos) e depois analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, como a função está mudando naquele ponto. A derivada de será denotada por .
Dada a função:
Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a funç��o pode ter máximos ou mínimos), vamos resolver a equação :
Podemos fatorar a expressão:
Assim, temos duas situações:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar a natureza desses pontos críticos, ou seja, se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Para :
Quando a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Então, precisamos analisar de outra forma, por exemplo, olhando a derivada primeira ao redor do ponto.
  1. Para :
Como , isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, �� um ponto de mínimo local.
Para , analisando a derivada primeira:
  • Se pegarmos um valor ligeiramente menor que 0, por exemplo, :
  • Se pegarmos um valor ligeiramente maior que 0, por exemplo, :
Como a derivada permanece negativa passando por , isso indica que não é um ponto de máximo ou mínimo, sendo então um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos extremos da função são:
  • : ponto de mínimo local.
  • : é um ponto de inflexão (não é máximo nem mínimo).

Exercícios relacionados

Sejam . Expresse cada uma das funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre e . d)
Resolva as seguintes inequalities: g)
Determine a integral de: