Seja
é diferenciável em
?
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função
que muda de expressão dependendo do valor de
. Queremos descobrir se
é diferenciável e contínua em
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre continuidade e diferenciabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade de
em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto pela esquerda for igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Nossa função é dada por:
Vamos simplificar as expressões:
(Como
e
)
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função em
:
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Passo 5
Agora, o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Passo 6
Para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Mas aí, vemos que:
Então, a função não é contínua em
.
Passo 7
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Lembre-se que diferenciabilidade implica continuidade, mas o contrário nem sempre é verdadeiro.
Resposta
A função
não é contínua nem diferenciável em
.
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Determine:
Determine:
, sabendo que
e que