Seja é diferenciável em ? é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Queremos descobrir se é diferenciável e contínua em . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre continuidade e diferenciabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade de em . Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto pela esquerda for igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Nossa função é dada por:
Vamos simplificar as expressões:
(Como e )

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função em :

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 5

Agora, o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 6

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Mas aí, vemos que:
Então, a função não é contínua em .

Passo 7

Como a função não é contínua em , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Lembre-se que diferenciabilidade implica continuidade, mas o contrário nem sempre é verdadeiro.

Resposta

A função não é contínua nem diferenciável em .

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