Determine a interseção da reta r com o plano pi, nos seguintes casos:
b) r: x-1=y-2=2(z-1) e pi: P=h(6,2,1)+t(1,2,1), h, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Vamos trabalhar com coordenadas no espaço 3D. Para isso, precisamos entender as equações que descrevem a reta e o plano.
Conteúdo da matéria: Interseção entre reta e plano no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Equações paramétricas da reta .
  • Equações paramétricas do plano .
  • Resolver um sistema de equações para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta x - 11 = y - 21 = z - 112 de uma forma mais clara. A reta está dada por:
x = 1 + lambda y = 2 + lambda z = 1 + lambda2
Isso significa que podemos expressar , e em termos de um parâmetro :
Aqui, é um número real que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, vamos entender a equação do plano P = h cdot (6, 2, 1) + t cdot (1, 2, 1), h, t in R . O plano está definido de forma paramétrica como:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido combinando as duas direções dadas pelos vetores e com os parâmetros e .

Passo 4

Para encontrar a interseção, precisamos que as coordenadas 1 + lambda = 6h + t 2 + lambda = 2h + 2t 1 + lambda2 = h + t da reta satisfaçam a equação do plano . Ou seja, substituímos as expressões de , e da reta na equação paramétrica do plano e resolvemos para os parâmetros e .
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 1 + lambda2 = h + t Rightarrow h + t = 1 + lambda2 (1) , 6h + t = 1 + lambda (2) 2h + 2t = 2 + lambda (3) e h + t = 1 + lambda2 (4) . Começamos pela terceira equação:
6h + t = 1 + lambda (2) h + t = 1 + lambda2 (4)
Vamos também reorganizar a primeira e a segunda equações:
Podemos simplificar a equação (3) dividindo todos os termos por 2:
Observamos que as equações (1) e (4) são iguais, então temos apenas duas equações independentes:

Passo 6

Vamos resolver para (6h + t) - (h + t) = (1 + lambda) - (1 + lambda2) e 5h = lambda2 Rightarrow h = lambda10 . Podemos subtrair a equação (4) da equação (2):
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos o valor de lambda10 + t = 1 + lambda2 na equação (4):
t = 1 + lambda2 - lambda10 = 1 + 5lambda - lambda10 = 1 + 4lambda10 = 1 + 2lambda5
Resolvendo para :

Passo 8

Vamos agora substituir os valores de 6(lambda10) + (1 + 2lambda5) = 1 + lambda e 6lambda10 + 1 + 2lambda5 = 1 + lambda 3lambda5 + 1 + 2lambda5 = 1 + lambda 5lambda5 + 1 = 1 + lambda lambda + 1 = 1 + lambda na equação (2):
Simplificando:
Isso é uma identidade verdadeira, o que indica que todas as equações são satisfeitas para qualquer valor de .

Passo 9

Como o sistema é dependente e todas as equações são satisfeitas, isso significa que a reta está completamente contida no plano . Portanto, eles não têm apenas um ponto de interseção, mas sim todos os pontos da reta pertencem igualmente ao plano.

Resposta

A reta está contida no plano , ou seja, todos os pontos de pertencem ao plano .

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