Determine a interseção da reta com o plano , nos seguintes casos:
b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Vamos trabalhar com coordenadas no espaço 3D. Para isso, precisamos entender as equações que descrevem a reta e o plano.
Conteúdo da matéria: Interseção entre reta e plano no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
Equações paramétricas da reta .
Equações paramétricas do plano .
Resolver um sistema de equações para encontrar o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de uma forma mais clara. A reta está dada por:
Isso significa que podemos expressar , e em termos de um parâmetro :
Aqui, é um número real que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, vamos entender a equação do plano P = h cdot (6, 2, 1) + t cdot (1, 2, 1), h, t in R . O plano está definido de forma paramétrica como:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido combinando as duas direções dadas pelos vetores e com os parâmetros e .
Passo 4
Para encontrar a interseção, precisamos que as coordenadas 1 + lambda = 6h + t 2 + lambda = 2h + 2t 1 + lambda2 = h + t da reta satisfaçam a equação do plano . Ou seja, substituímos as expressões de , e da reta na equação paramétrica do plano e resolvemos para os parâmetros e .
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 1 + lambda2 = h + t Rightarrow h + t = 1 + lambda2 (1) , 6h + t = 1 + lambda (2) 2h + 2t = 2 + lambda (3) e h + t = 1 + lambda2 (4) . Começamos pela terceira equação:
6h + t = 1 + lambda (2) h + t = 1 + lambda2 (4)
Vamos também reorganizar a primeira e a segunda equações:
Podemos simplificar a equação (3) dividindo todos os termos por 2:
Observamos que as equações (1) e (4) são iguais, então temos apenas duas equações independentes:
Passo 6
Vamos resolver para (6h + t) - (h + t) = (1 + lambda) - (1 + lambda2) e 5h = lambda2 Rightarrow h = lambda10 . Podemos subtrair a equação (4) da equação (2):
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de lambda10 + t = 1 + lambda2 na equação (4):
Isso é uma identidade verdadeira, o que indica que todas as equações são satisfeitas para qualquer valor de .
Passo 9
Como o sistema é dependente e todas as equações são satisfeitas, isso significa que a reta está completamente contida no plano . Portanto, eles não têm apenas um ponto de interseção, mas sim todos os pontos da reta pertencem igualmente ao plano.
Resposta
A reta está contida no plano , ou seja, todos os pontos de pertencem ao plano .