Exiba um subespaço vetorial de cuja dimensão é igual a 2 , apresentando justificadamente - uma base para esse esse subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar um subespaço vetorial do espaço que tenha dimensão igual a 2. Basicamente, um subespaço vetorial é como se fosse “um espaço dentro de outro espaço”. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouquinho sobre bases e dimensão de subespaços. Vamos construir uma base para esse subespaço, que são um conjunto de vetores que geram todo o subespaço e que são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Imagine que a base é como os alicerces de uma casa: com eles, você consegue construir todo o espaço do subespaço. No nosso caso, queremos dois vetores que, quando combinados, consigam gerar qualquer vetor desse subespaço de dimensão 2.
Passo 3
Vamos escolher dois vetores em que não sejam múltiplos um do outro, para garantir que eles sejam linearmente independentes. Por exemplo, vamos pegar:
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores realmente formam uma base. Isso significa checar se qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, para qualquer vetor u = a b 0 0 no subespaço, existe scalars c1 e c2 tais que:
Isso mostra que conseguimos gerar qualquer vetor com as duas primeiras componentes variando e as outras duas sendo zero.
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que v1 e v2 são linearmente independentes, ou seja, que não existe um escalar k tal que v1 = k v2. Claramente, isso é verdade porque nenhum múltiplo de v2 dará v1, já que eles têm componentes diferentes.
Resposta
Então, um subespaço vetorial de R^4 com dimensão 2 é formado pelos vetores que são combinações lineares de v1 e v2, onde:
v1 = 1 0 0 0 , v2 = 0 1 0 0
Esses dois vetores formam uma base para o subespaço, pois são linearmente independentes e conseguem gerar todo o subespaço de dimensão 2 em R^4.