Determine a interseção da reta r com o plano pi, nos seguintes casos:
c) r:lx=t y=-3-3 t, t in R e pi: x+y+2 z-1=0 z=-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar onde a reta x = t y = -3 - 3t z = -t intercepta o plano x + y + 2z - 1 = 0 . A reta está descrita pelas equações paramétricas:
e o plano é dado por:
Para isso, vamos usar o conceito de substituição das equações paramétricas da reta na equação do plano para encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de t + (-3 - 3t) + 2(-t) - 1 = 0 , e da reta na equação do plano . Isso significa que vamos substituir , e na equação do plano:
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de .

Passo 3

Simplificando a equação:
t - 3 - 3t - 2t - 1 = 0
Vamos combinar os termos semelhantes:
(t - 3t - 2t) + (-3 - 1) = 0
-4t - 4 = 0
Agora, resolvemos para -4t = 4 t = -1 :

Passo 4

Com o valor de x = t = -1 , vamos substituir de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
y = -3 - 3(-1) = -3 + 3 = 0
z = -t = -(-1) = 1

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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