Determine se os sistemas lineares a seguir são consistentes:
(a) r2 w+x+3 y+5 z=1 4 w+4 y+8 z=0 w+x+2 y+3 z=0 x+y+z=0
(b) r2 w+x+3 y+5 z=7 4 w+4 y+8 z=8 w+x+2 y+3 z=5 x+y+z=3

Passo 1

Vamos resolver dois sistemas lineares para verificar se eles são consistentes, ou seja, se possuem pelo menos uma solução. Para isso, vamos usar a técnica de eliminação de Gauss, que envolve manipular as equações para simplificar o sistema e identificar inconsistências.

Passo 2

Sistema (a):
2w + x + 3y + 5z = 1 4w + 4y + 8z = 0 w + x + 2y + 3z = 0 x + y + z = 0
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
2 & 1 & 3 & 5 & | & 1 4 & 0 & 4 & 8 & | & 0 1 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para transformar a matriz em forma escalonada.
  1. Normalizar a primeira linha dividindo por 2:
1 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & | & 0.5 4 & 0 & 4 & 8 & | & 0 1 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0
  1. Zerar a primeira coluna das outras linhas:
    • Linha 2 = Linha 2 - 4 * Linha 1
    • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
1 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & | & 0.5 0 & -2 & -2 & -2 & | & -2 0 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & | & -0.5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 4

Continuando com as operações:
  1. Normalizar a segunda linha dividindo por -2:
1 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & | & 0.5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & | & -0.5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0
  1. Zerar a segunda coluna das outras linhas:
    • Linha 1 = Linha 1 - 0.5 * Linha 2
    • Linha 3 = Linha 3 - 0.5 * Linha 2
    • Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 0 & 0 & | & -1

Passo 5

Analisando a matriz resultante, observamos que as últimas duas linhas têm todas as variáveis com coeficientes zero, mas as constantes são diferentes de zero:
0x + 0y + 0z + 0w = -1
Isso significa que temos uma inconsistência, pois uma igualdade impossível foi obtida.

Passo 6

Sistema (b):
2w + x + 3y + 5z = 7 4w + 4y + 8z = 8 w + x + 2y + 3z = 5 x + y + z = 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
2 & 1 & 3 & 5 & | & 7 4 & 0 & 4 & 8 & | & 8 1 & 1 & 2 & 3 & | & 5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 3

Passo 7

Realizando operações de linha para simplificar:
  1. Normalizar a primeira linha dividindo por 2:
1 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & | & 3.5 4 & 0 & 4 & 8 & | & 8 1 & 1 & 2 & 3 & | & 5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 3
  1. Zerar a primeira coluna das outras linhas:
    • Linha 2 = Linha 2 - 4 * Linha 1
    • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
1 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & | & 3.5 0 & -2 & -2 & -2 & | & -6 0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & | & -0.5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 3

Passo 8

Continuando com as operações:
  1. Normalizar a segunda linha dividindo por -2:
1 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & | & 3.5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 3 0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & | & -0.5 0 & 1 & 1 & 1 & | & 3
  1. Zerar a segunda coluna das outras linhas:
    • Linha 1 = Linha 1 - 0.5 * Linha 2
    • Linha 3 = Linha 3 - 0.5 * Linha 2
    • Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
1 & 0 & 1 & 2 & | & 2 0 & 1 & 1 & 1 & | & 3 0 & 0 & -1 & -1 & | & -3.5 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Analisando a matriz resultante, não há linhas com todas as variáveis zero e uma constante não nula. Portanto, o sistema não apresenta inconsistências e é consistente.

Resposta

(a) O sistema é inconsistente.
(b) O sistema é consistente.

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