Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
y(x) = raiz(ln(x + 1) - 1), solução do PVI y' = 1 / (3 y^2 (x + 1)), y(0) = -1

Passo 1

Vamos entender o problema: temos a função que é solução de um problema de valor inicial (PVI). Queremos encontrar o maior intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar saber sobre domínios de funções, propriedades dos logaritmos e das raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o argumento do logaritmo: . O logaritmo natural só está definido para números positivos, ou seja, . Isso significa que .

Passo 3

Agora, olhamos para a expressão dentro da raiz cúbica: . A raiz cúbica está definida para qualquer número real, positivo ou negativo, então não há restrição adicional aqui além de já termos .

Passo 4

Verificamos também o ponto inicial do PVI: quando , temos . Substituindo na função, , o que confirma que a função está bem definida nesse ponto.

Resposta

O intervalo máximo de definição da solução é .

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