Determine o intervalo de convergência da série de Maclaurin da função f(x)=e^-x^2 e calcule integral e^-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir o intervalo de convergência da série de Maclaurin da função e também calcular a integral de . A matéria que vamos usar aqui é a análise de séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, e conceitos de cálculo integral. Vamos precisar entender como expandir a função em série e como determinar para quais valores de essa série converge. Além disso, vamos abordar a integração da função , que é famosa por não ter uma antiderivada expressa em termos de funções elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a série de Maclaurin para f(x) = sumn=0^infty an x^n . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em zero, ou seja:
e^u = sumn=0^infty u^nn!
Sabemos que a série de Maclaurin para e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! é:
Aqui, , então substituindo na série:

Passo 3

Agora, para determinar o intervalo de convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para séries de potências. O teste da razão diz que a série limn to infty | an+1an | < 1 converge se:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)(n+1)! cdot n!(-1)^n x^2n | = | -x^2 cdot x^2n(n+1) x^2n | = | x^2n+1 |
Aqui, nosso termo geral é limn to infty | x^2n+1 | = 0 . Vamos então calcular a razão :
Agora, calculamos o limite quando tende a infinito:
Como 0 é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral e^-x^2 dx = raizpi2 , erf(x) + C . Essa integral é conhecida e está relacionada à função erro ( ), que é uma função especial utilizada em várias áreas, como estatística e física. A antiderivada de não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas podemos escrevê-la utilizando a funç��o erro:
onde é a constante de integração.

Resposta

O intervalo de convergência da série de Maclaurin de é . Além disso, a integral de é .

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