Determine o intervalo de convergência da série de Maclaurin da função e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir o intervalo de convergência da série de Maclaurin da função e também calcular a integral de . A matéria que vamos usar aqui é a análise de séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, e conceitos de cálculo integral. Vamos precisar entender como expandir a função em série e como determinar para quais valores de essa série converge. Além disso, vamos abordar a integração da função , que é famosa por não ter uma antiderivada expressa em termos de funções elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em zero, ou seja: Sabemos que a série de Maclaurin para é: Aqui, , então substituindo na série:

Passo 3

Agora, para determinar o intervalo de convergência dessa série, vamos usar o **Teste da Razão**, que é uma técnica comum para séries de potências. O teste da razão diz que a série converge se: Aqui, nosso termo geral é . Vamos então calcular a razão : Extra close brace or missing open brace \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+1} x^{2(n+1)}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(-1)^n x^{2n}}} \right| = \left| \frac{-x^{2} \cdot x^{2n}}{(n+1) x^{2n}}} \right| = \left| \frac{x^{2}}{n+1} \right| Agora, calculamos o limite quando tende a infinito: Como 0 é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de . Essa integral é conhecida e está relacionada à **função erro** (), que é uma função especial utilizada em várias áreas, como estatística e física. A antiderivada de não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas podemos escrevê-la utilizando a funç��o erro: onde é a constante de integração.

Resposta

O intervalo de convergência da série de Maclaurin de é . Além disso, a integral de é .

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