A seguinte é a equação de uma onda em um meio resistente
l ut t=c^2 ux x-r ut u(0, t)=0, u(L, t)=0 u(x, 0)=2 sen 2 x, ut(x, 0)=-cos x x in(0, L)
onde r é uma constante, 0. Use separação de variáveis para resolver a equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de onda com resistência usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
utt = c^2 uxx - r ut u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 u(x, 0) = 2 sin(2x), ut(x, 0) = -cos x
Aqui, é uma constante com . Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis, que envolve assumir que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de e apenas de .

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução u(x, t) = X(x) T(t) pode ser escrita como o produto de uma função de e uma função de :
Essa é a base do método de separação de variáveis. Nosso objetivo é encontrar as funções e .

Passo 3

Vamos substituir utt = c^2 uxx - r ut na equação de onda:
utt = X(x) T''(t)
Calculando as derivadas:
uxx = X''(x) T(t)
ut = X(x) T'(t)
X(x) T''(t) = c^2 X''(x) T(t) - r X(x) T'(t)
Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados por T''(t)T(t) = c^2 X''(x)X(x) - r T'(t)T(t) para separar as variáveis:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de .

Passo 5

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para c^2 X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + r T'(t) + lambda T(t) = 0
  1. Para :
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a equação em c^2 X''(x) + lambda X(x) = 0 :
X''(x) + lambdac^2 X(x) = 0
Dividindo por Xn(x) = sin(npi xL) :
lambdan = (npi cL)^2
A solução dessa equação é de forma trigonométrica, já que estamos com condições de contorno de Dirichlet:
Onde é um número inteiro positivo. Isso implica que:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + r T'(t) + lambdan T(t) = 0 :
T''(t) + r T'(t) + (npi cL)^2 T(t) = 0
Substituindo :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende das raízes da equação característica.

Passo 8

A equação característica é:
m^2 + r m + (npi cL)^2 = 0
Resolvendo para m = -r pm raizr^2 - 4 (npi cL)^22 :
m = alpha pm i beta
Como alpha = -r2 , o discriminante beta = raiz(npi cL)^2 - (r2)^2 será negativo, o que nos dá soluções complexas:
Onde:

Passo 9

A solução geral para Tn(t) = e^alpha t ( Cn cos(beta t) + Dn sin(beta t) ) é então:
Tn(t) = e^-r2 t ( Cn cos(raiz(npi cL)^2 - (r2)^2 t) + Dn sin(raiz(npi cL)^2 - (r2)^2 t) )
Substituindo e :

Passo 10

Portanto, a solução geral da equação de onda é uma soma de todas as soluções separadas:
u(x, t) = sumn=1^infty sin(npi xL) e^-r2 t ( Cn cos(raiz(npi cL)^2 - (r2)^2 t) + Dn sin(raiz(npi cL)^2 - (r2)^2 t) )

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes u(x, 0) = 2 sin(2x) = sumn=1^infty Cn sin(npi xL) e .
Primeiro, para :
Isso implica que para todos exceto , mas como é inteiro, assumimos que está ajustado para que seja o único termo não nulo. Assim, e para .

Passo 12

Para a derivada em ut(x, 0) = -cos x = sumn=1^infty ( -r2 Cn sin(npi xL) + Dn raiz(npi cL)^2 - (r2)^2 sin(npi xL) ) na condição inicial:
-cos x = D2 raiz(2pi cL)^2 - (r2)^2 sin(2pi xL)
Substituindo para e :
Isso sugere que apenas é não nulo, e relacionamos os coeficientes para satisfazer a condição inicial.

Resposta

Finalmente, a solução da equação de onda com resistência é:
u(x, t) = 2 sin(2pi xL) e^-r2 t cos(raiz(2pi cL)^2 - (r2)^2 t) - 1raiz(2pi cL)^2 - (r2)^2 sin(2pi xL) e^-r2 t sin(raiz(2pi cL)^2 - (r2)^2 t)

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