Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries. sumn=1^infty 2^nn!

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para verificar se a série converge usando os critérios da raiz e da razão. Estamos lidando com séries infinitas e vamos utilizar dois métodos matemáticos chamados Critério da Raiz e Critério da Razão para analisar a convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Critério da Raiz. Esse critério diz que, para uma série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos o limite:
an = 2^nn!
  • Se raiz[n]an = raiz[n]2^nn! = 2raiz[n]n! , a série converge.
  • Se limn to infty 2raiz[n]n! = limn to infty 2n/e = limn to infty 2en = 0 , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
Agora, precisamos descobrir o comportamento de conforme cresce. Sabemos que cresce muito rápido, mais rápido que qualquer potência exponencial. De fato, tende a crescer proporcionalmente a (onde é a base dos logaritmos naturais).
Então:
Como , segundo o Critério da Raiz, a série converge.

Passo 3

Agora, vamos utilizar o Critério da Razão para confirmar nossa conclusão. Esse critério diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
an = 2^nn!
  • Se an+1 = 2^n+1(n+1)! , a série converge.
  • Se an+1an = 2^n+1(n+1)! cdot n!2^n = 2n+1 , a série diverge.
  • Se limn to infty 2n+1 = 0 , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Agora, calculamos a razão:
Calculando o limite:
Como , pelo Critério da Razão, a série também converge.

Resposta

A série converge, conforme os critérios da raiz e da razão.

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