Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de 0 a 1 da função
em relação a
. Essa questão envolve técnicas de cálculo integral, especificamente a integral de funções que são produtos de termos polinomiais e trigonométricos. Para resolver, vamos precisar entender como integrar cada parte da função separadamente e depois somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos distribuir o
para cada termo dentro dos colchetes:
Isso nos dá duas integrais separadas para resolver:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
A segunda integral é:
Então, juntando tudo:
Multiplicando por
, temos:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Então, a integral fica:
Calculando cada integral separadamente:
Então:
Somando as frações:
Portanto:
Resposta
Juntando os resultados das duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral é: