integral0^1 2 pi(x+1)[sin (pi x / 2)-x^4] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de 0 a 1 da função em relação a . Essa questão envolve técnicas de cálculo integral, especificamente a integral de funções que são produtos de termos polinomiais e trigonométricos. Para resolver, vamos precisar entender como integrar cada parte da função separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos distribuir o 2pi(x+1)[sin(pi x2) - x^4] = 2pi(x+1)sin(pi x2) - 2pi(x+1)x^4 para cada termo dentro dos colchetes:
integral0^1 2pi(x+1)sin(pi x2) dx e integral0^1 2pi(x+1)x^4 dx
Isso nos dá duas integrais separadas para resolver:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 2pi(x+1)sin(pi x2) dx
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • integral (x+1)sin(pi x2) dx = -(x+1)2picos(pi x2) + 2piintegral cos(pi x2) dx integral cos(pi x2) dx = 2pisin(pi x2) + C integral (x+1)sin(pi x2) dx = -2pi(x+1)cos(pi x2) + 4pi^2sin(pi x2) + C
  • 2pi integral (x+1)sin(pi x2) dx = -4(x+1)cos(pi x2) + 8pisin(pi x2) + C -4(2)cos(pi2) + 8pisin(pi2) = -8 cdot 0 + 8pi cdot 1 = 8pi -4(1)cos(0) + 8pisin(0) = -4 cdot 1 + 8pi cdot 0 = -4
Aplicando a fórmula:
8pi - (-4) = 8pi + 4
A segunda integral é:
Então, juntando tudo:
Multiplicando por , temos:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^1 2pi(x+1)x^4 dx
Primeiro, multiplicamos (x+1)x^4 = x^5 + x^4 por 2pi integral0^1 (x^5 + x^4) dx = 2pi ( integral0^1 x^5 dx + integral0^1 x^4 dx ) :
integral x^5 dx = x^66 + C
Então, a integral fica:
integral x^4 dx = x^55 + C
Calculando cada integral separadamente:
2pi ( [ x^66 ]0^1 + [ x^55 ]0^1 ) = 2pi ( 16 - 0 + 15 - 0 ) = 2pi ( 16 + 15 )
16 + 15 = 5 + 630 = 1130
Então:
2pi cdot 1130 = 11pi15
Somando as frações:
Portanto:

Resposta

Juntando os resultados das duas integrais, temos:
8pi + 4 - 11pi15
Portanto, o valor da integral é:
8pi + 4 - 11pi15

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