Encontre a soma das seguintes séries
© sumn=1^infty 3^nn!

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a soma da série infinita . Essa questão está relacionada com séries infinitas e, mais especificamente, com séries de potências. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série infinita e como calcular a soma dela usando propriedades das séries conhecidas, como a série do número de Euler .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série do número de Euler é dada por:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Essa série é muito útil porque ela converge para e^3 = sumn=0^infty 3^nn! para qualquer valor de . No nosso caso, temos , então:

Passo 3

No entanto, a nossa série começa de sumn=0^infty 3^nn! = e^3 em vez de sumn=1^infty 3^nn! = e^3 - 3^00! . Vamos ver o que isso significa. Se começarmos a série em , temos:
Mas queremos a soma a partir de , então precisamos subtrair o termo quando :

Passo 4

Calculando o termo que está subtraindo:
3^00! = 11 = 1
Então, a soma da nossa série fica:
sumn=1^infty 3^nn! = e^3 - 1

Resposta

A soma da série é .

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