Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty x^nn 2^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo de convergência da série de potências . Isso está ligado ao conteúdo de séries de potências e, pra resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , a gente calcula o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, . Então, vamos calcular que é .

Passo 4

Vamos montar a razão | x^n+1(n+1) cdot 2^n+1x^nn cdot 2^n | = | x^n+1 cdot n cdot 2^nx^n cdot (n+1) cdot 2^n+1 | = | x cdot n2 cdot (n+1) | :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando limn to infty | x cdot n2 cdot (n+1) | = limn to infty | x2 cdot nn+1 | = | x2 | tende ao infinito:
A gente simplificou porque tende a 1 quando fica bem grande.

Passo 6

Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| x2 | < 1 implies |x| < 2
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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