Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida
e expressar isso como uma série de potências centrada em zero. Então, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente séries de potências e integração term a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na nossa integral original:
Passo 4
Aí, a gente troca a ordem da soma e da integração (válido dentro do intervalo de convergência):
Agora, vamos integrar
:
Passo 5
Substituindo de volta na soma:
Resposta
Portanto, a integral pode ser expressa como a série de potências: