Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida
e expressar isso como uma série de potências centrada em zero. Então, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente séries de potências e integração term a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na nossa integral original:
Passo 4
Aí, a gente troca a ordem da soma e da integração (válido dentro do intervalo de convergência):
Agora, vamos integrar
:
Passo 5
Substituindo de volta na soma:
Resposta
Portanto, a integral pode ser expressa como a série de potências:
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(e)
(e)
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f)
(f)
Determine o intervalo de convergência da série
.
Usando séries de Maclaurin, mostre que
.