Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(b) integral ln (1-x^2)x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida e expressar isso como uma série de potências centrada em zero. Então, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente séries de potências e integração term a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn para |x| < 1 pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
ln(1 - x^2) = -sumn=1^infty (x^2)^nn = -sumn=1^infty x^2nn
No nosso caso, temos , então substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na nossa integral original:
integral ln(1 - x^2)x^2 , dx = integral -sumn=1^infty x^2nn x^2 , dx = -integral sumn=1^infty x^2n - 2n , dx

Passo 4

Aí, a gente troca a ordem da soma e da integração (válido dentro do intervalo de convergência):
- sumn=1^infty 1n integral x^2n - 2 , dx
Agora, vamos integrar integral x^2n - 2 , dx = x^2n - 12n - 1 + C :

Passo 5

Substituindo de volta na soma:
- sumn=1^infty 1n cdot x^2n - 12n - 1 + C = - sumn=1^infty x^2n - 1n(2n - 1) + C

Resposta

Portanto, a integral pode ser expressa como a série de potências:
integral ln(1 - x^2)x^2 , dx = - sumn=1^infty x^2n - 1n(2n - 1) + C

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