Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
c) sumn=1^infty 2^n x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de determinar o intervalo de convergência da série de potências . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
an = 2^n x^2n
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Vamos calcular an+1 = 2^n+1 x^2(n+1) = 2 cdot 2^n x^2n+2 :
an+1an = 2 cdot 2^n x^2n+22^n x^2n = 2 x^2
Então,
| an+1an | = 2 |x|^2
Tomando o valor absoluto:

Passo 4

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que:
L = 2 |x|^2 < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x|^2 < 12 implies |x| < 1raiz2

Resposta

O intervalo de convergência da série ( -1raiz2, 1raiz2 ) é:

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