Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste de comparação, que faz parte dos estudos de séries infinitas na matemática. Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série que queremos testar:
. Sabemos que o valor absoluto do seno,
, sempre fica entre 0 e 1, ou seja,
.
Passo 3
Então, podemos dizer que cada termo da nossa série original é menor ou igual a
, porque:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da série com que vamos comparar. A série
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
, o que é o caso aqui.
Passo 5
Como a série
converge e todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos dessa série geométrica, pelo teste de comparação, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
c)
c)
i)
, onde
e
.
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
b)
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)
b)