Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste de comparação, que faz parte dos estudos de séries infinitas na matemática. Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série que queremos testar: . Sabemos que o valor absoluto do seno, , sempre fica entre 0 e 1, ou seja, .

Passo 3

Então, podemos dizer que cada termo da nossa série original é menor ou igual a , porque:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série com que vamos comparar. A série é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se , o que é o caso aqui.

Passo 5

Como a série converge e todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos dessa série geométrica, pelo teste de comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
c)
i) , onde e .
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)