i) , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: .
Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea, temos:
Como nunca é zero, temos que . Resolvendo para :
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa .
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
onde e são constantes a determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :
Agora, calculamos a derivada de :
Aplicando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule .
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c)
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