i)
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
.
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação homogênea, temos:
Como
nunca é zero, temos que
. Resolvendo para
:
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
.
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 5
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre o domínio da função (de Bessel de ordem 0) dada por
. Verifique que
satisfaz:
.
Calcule os limites laterais indicados.
Calcule .
Calcule
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
c)
c)
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.