Encontre o domínio da função (de Bessel de ordem 0) dada por . Verifique que satisfaz: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar o domínio da função de Bessel de ordem 0, que é dada pela série infinita:
Além disso, temos que verificar que satisfaz a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função, como analisar a convergência de séries infinitas e como trabalhar com derivadas de séries. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
No nosso caso, é definida por uma série infinita. Para que a série converja, precisamos verificar para quais valores de a soma da série é finita.
Passo 3
Vamos analisar a série:
Essa é uma série de potências da forma:
onde .
Para determinar o raio de convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão.
Passo 4
O Teste da Razão nos diz que o raio de convergência é dado por:
Vamos calcular esse limite:
Passo 5
Agora, calculamos o limite:
limn to infty x^24 (n+1)^2 = 0
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .
Passo 6
Portanto, o domínio da função Domínio = R, é:
í
ou seja, todos os números reais.
Passo 7
Agora, vamos verificar que x^2 J0^prime prime(x) + x J0^prime(x) + x^2 J0(x) = 0 satisfaz a equação diferencial:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de .