Encontre o domínio da função (de Bessel de ordem 0) dada por . Verifique que satisfaz: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar o domínio da função de Bessel de ordem 0, que é dada pela série infinita:
Além disso, temos que verificar que satisfaz a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função, como analisar a convergência de séries infinitas e como trabalhar com derivadas de séries. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
No nosso caso, é definida por uma série infinita. Para que a série converja, precisamos verificar para quais valores de a soma da série é finita.
Passo 3
Vamos analisar a série:
Essa é uma série de potências da forma:
onde .
Para determinar o raio de convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão.
Passo 4
O Teste da Razão nos diz que o raio de convergência é dado por:
Vamos calcular esse limite:
Passo 5
Agora, calculamos o limite:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .
Passo 6
Portanto, o domínio da função é:
í
ou seja, todos os números reais.
Passo 7
Agora, vamos verificar que satisfaz a equação diferencial:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de .
Passo 8
Primeiro, encontramos :
derivando termo a termo:
Passo 9
Agora, encontramos derivando novamente:
Passo 10
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Vamos substituir cada termo:
.
.
.
Passo 11
Somando os três termos:
Vamos ajustar o índice da última soma para :
Passo 12
Simplificando as somas:
Calculando o termo dentro dos colchetes:
Então:
Passo 13
Reescrevendo a segunda soma:
Agora, igualando a soma a zero:
Passo 14
Fatorando das duas somas:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 15
Note que . Então:
Substituindo de volta:
Então, cada termo da soma é zero, e portanto a equação é satisfeita.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . Além disso, satisfaz a equação diferencial .