Encontre o domínio da função (de Bessel de ordem 0) dada por J0(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2. Verifique que J0 satisfaz: x^2 J0^prime prime(x)+x J0^prime(x)+x^2 J0(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar o domínio da função de Bessel de ordem 0, que é dada pela série infinita:
J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2
Além disso, temos que verificar que x^2 J0^prime prime(x) + x J0^prime(x) + x^2 J0(x) = 0 satisfaz a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função, como analisar a convergência de séries infinitas e como trabalhar com derivadas de séries. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
No nosso caso, é definida por uma série infinita. Para que a série converja, precisamos verificar para quais valores de a soma da série é finita.

Passo 3

Vamos analisar a série:
J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2
Essa é uma série de potências da forma:
sumn=0^infty an x^2n,
onde .
Para determinar o raio de convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão.

Passo 4

O Teste da Razão nos diz que o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | é dado por:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)2^2(n+1) ((n+1)!)^2 cdot 2^2n (n!)^2(-1)^n x^2n | = x^2 4 (n+1)^2
Vamos calcular esse limite:

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
limn to infty x^24 (n+1)^2 = 0
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .

Passo 6

Portanto, o domínio da função Domínio = R, é:
í
ou seja, todos os números reais.

Passo 7

Agora, vamos verificar que x^2 J0^prime prime(x) + x J0^prime(x) + x^2 J0(x) = 0 satisfaz a equação diferencial:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de .

Passo 8

Primeiro, encontramos J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2, :
J0^prime(x) = sumn=0^infty (-1)^n 2n x^2n-12^2n (n!)^2 = sumn=1^infty (-1)^n 2n x^2n-12^2n (n!)^2
derivando termo a termo:

Passo 9

Agora, encontramos J0^prime prime(x) = sumn=1^infty (-1)^n 2n (2n-1) x^2n-22^2n (n!)^2 = sumn=1^infty (-1)^n 2n (2n-1) x^2n-22^2n (n!)^2 derivando novamente:

Passo 10

Agora, substituímos x^2 J0^prime prime(x) + x J0^prime(x) + x^2 J0(x) = 0 , e na equação diferencial:
Vamos substituir cada termo:
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 11

Somando os três termos:
sumn=1^infty (-1)^n 2n (2n-1) x^2n2^2n (n!)^2 + sumn=1^infty (-1)^n 2n x^2n2^2n (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n x^2n+22^2n (n!)^2 = 0
Vamos ajustar o índice da última soma para sumn=1^infty (-1)^n 2n (2n-1) x^2n2^2n (n!)^2 + sumn=1^infty (-1)^n 2n x^2n2^2n (n!)^2 + sumn=1^infty (-1)^n-1 x^2n2^2(n-1) ((n-1)!)^2 = 0 :

Passo 12

Simplificando as somas:
Calculando o termo dentro dos colchetes:
sumn=1^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2 [ 2n(2n-1) + 2n ] + sumn=1^infty (-1)^n-1 x^2n2^2(n-1) ((n-1)!)^2 = 0
Então:

Passo 13

Reescrevendo a segunda soma:
Agora, igualando a soma a zero:

Passo 14

Fatorando sumn=1^infty 4 x^2n2^2n [ (-1)^n n^2(n!)^2 - (-1)^n((n-1)!)^2 ] = 0 das duas somas:
Simplificando dentro dos colchetes:
(-1)^n n^2(n!)^2 - (-1)^n((n-1)!)^2 = (-1)^n ( n^2(n!)^2 - 1((n-1)!)^2 )

Passo 15

Note que n^2(n!)^2 = n^2n^2 (n-1)!^2 = 1(n-1)!^2 . Então:
(-1)^n ( 1(n-1)!^2 - 1(n-1)!^2 ) = 0
Substituindo de volta:
Então, cada termo da soma é zero, e portanto a equação é satisfeita.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . Além disso, satisfaz a equação diferencial .

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