Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de séries de potências! O que temos aqui é a série . O objetivo é descobrir em quais valores de essa série converge e identificar em qual ponto ela está centrada. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica que nos ajuda a encontrar o intervalo de convergência de uma série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da série. A série está na forma , que lembra . Comparando, percebemos que . Portanto, a série está centrada em .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos diz que uma série converge se o limite:
for menor que 1.
Passo 4
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
Então,
Agora, montamos a razão:
Passo 5
Simplificando para grande, os termos de maior grau dominam:
Portanto,
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que :
Isso nos dá o intervalo:
Subtraindo 3 de todas as partes:
Passo 7
Agora, vamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Em :
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada. Observamos que tende a quando é grande, e não tende a zero rápido o suficiente para garantir a convergência. Então, a série não converge em .
Em :
Essa série se comporta como , que é uma série harmônica conhecida por divergir. Portanto, a série não converge em .
Resposta
A série converge para todos os valores de entre e . Ela está centrada em . Portanto, o intervalo de convergência é e o centro da série é .