Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b) sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1(x+3)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de séries de potências! O que temos aqui é a série . O objetivo é descobrir em quais valores de essa série converge e identificar em qual ponto ela está centrada. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica que nos ajuda a encontrar o intervalo de convergência de uma série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da série. A série está na forma , que lembra . Comparando, percebemos que . Portanto, a série está centrada em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos diz que uma série L = limn to infty | an+1an | converge se o limite:
for menor que 1.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para a nossa série:
an = n^3+n+1n^4+1(x+3)^n
Então,
an+1 = (n+1)^3+(n+1)+1(n+1)^4+1(x+3)^n+1
Agora, montamos a razão:
an+1an = (n+1)^3+(n+1)+1(n+1)^4+1 cdot n^4+1n^3+n+1 cdot (x+3)

Passo 5

Simplificando para (n+1)^3(n+1)^4 cdot n^4n^3 cdot |x+3| = n^3n^4 cdot n^4n^3 cdot |x+3| = |x+3| grande, os termos de maior grau dominam:
L = limn to infty |x+3| = |x+3|
Portanto,

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que |x + 3| < 1 :
-1 < x + 3 < 1
Isso nos dá o intervalo:
-4 < x < -2
Subtraindo 3 de todas as partes:

Passo 7

Agora, vamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Em (x + 3) = -1 Rightarrow sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1(-1)^n :
(x + 3) = 1 Rightarrow sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada. Observamos que tende a quando é grande, e não tende a zero rápido o suficiente para garantir a convergência. Então, a série não converge em .
  • Em :
Essa série se comporta como , que é uma série harmônica conhecida por divergir. Portanto, a série não converge em .

Resposta

A série converge para todos os valores de entre e . Ela está centrada em . Portanto, o intervalo de convergência é e o centro da série é .

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