Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir o intervalo de convergência da série de potências dada por . Isso está dentro do tema de séries de potências, onde a gente quer saber para quais valores de a série “funciona”, ou seja, converge. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série: . Aqui, cada termo da série é . Vamos simplificar isso pensando que , ou seja, podemos reescrever a série como . Agora, temos uma série de potências na forma , onde .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A fórmula do teste é:
Se an = n, an+1 = n + 1 , a série converge; se an+1an = n + 1n = 1 + 1n , diverge; e se L = limn to infty | (n + 1) (x^2)^n+1n (x^2)^n | = limn to infty | n + 1n cdot x^2 | = limn to infty (1 + 1n) |x^2| = |x^2| , o teste é inconclusivo.
Aplicando isso à nossa série:
Então,
Agora, vamos calcular o limite:
Passo 4
Agora, aplicando o resultado do limite ao teste:
|x^2| < 1 implies |x| < 1
Isso nos diz que a série converge para todos os cuja magnitude seja menor que 1.