Seja sumn=1^infty(-1)^n 2^n an, an>0, uma série condicionalmente convergente. Encontre o intervalo de convergência da série sumn=1^infty an x^n. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma série alternada sumn=1^infty (-1)^n 2^n an, onde an > 0, e sabemos que ela converge condicionalmente. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumn=1^infty an x^n Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas, convergência condicional e o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir condicionalmente. Isso quer dizer que a série sumn=1^infty (-1)^n 2^n an converge, mas a série com termos absolutos sumn=1^infty 2^n an diverge. Ou seja, a convergência depende da alternância dos sinais.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumn=1^infty an x^n Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência R da série. O teste da razão diz que:
L = limn to infty | an+1 x^n+1an x^n | = |x| cdot limn to infty | an+1an |
Para que a série convirja, precisamos que L < 1.

Passo 4

Vamos relacionar isso com a série que sabemos que converge condicionalmente. Sabemos que sumn=1^infty (-1)^n 2^n an converge condicionalmente, ou seja, sumn=1^infty 2^n an diverge. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento dos termos an.

Passo 5

Considerando que sumn=1^infty 2^n an diverge, podemos inferir que o raio de convergência da série de potência sumn=1^infty an x^n é R = 2. Isso porque, no teste da razão, quando |x| = R, a série está na fronteira entre convergência e divergência.

Passo 6

Portanto, o intervalo de convergência da série sumn=1^infty an x^n é |x| < 2. Além disso, precisamos verificar o que acontece nos pontos x = -2 e x = 2.

Passo 7

Sabemos que em x = 2, a série se torna sumn=1^infty an (2)^n = sumn=1^infty 2^n an, que sabemos que diverge. Em x = -2, a série fica sumn=1^infty an (-2)^n = sumn=1^infty (-1)^n 2^n an, que é justamente a série que converge condicionalmente.

Resposta

O intervalo de convergência da série sumn=1^infty an x^n é -2 <= x < 2.

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b) sum an 8^n
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
Calcule os limites laterais de f(x) no ponto a = -2: f(x) = (x + 3) * |x + 2| / (x + 2).
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
d) sumn=0^infty n x^2 n
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
g) sumn=1^infty x^n n^nn^2.