Seja , uma série condicionalmente convergente. Encontre o intervalo de convergência da série . Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma série alternada onde , e sabemos que ela converge condicionalmente. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de convergência da série de potência Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas, convergência condicional e o teste da razão para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir condicionalmente. Isso quer dizer que a série converge, mas a série com termos absolutos diverge. Ou seja, a convergência depende da alternância dos sinais.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o intervalo de convergência da série de potência Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. O teste da razão diz que:
Para que a série convirja, precisamos que L < 1.
Passo 4
Vamos relacionar isso com a série que sabemos que converge condicionalmente. Sabemos que sumn=1^infty (-1)^n 2^n an converge condicionalmente, ou seja, sumn=1^infty 2^n an diverge. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento dos termos an.
Passo 5
Considerando que sumn=1^infty 2^n an diverge, podemos inferir que o raio de convergência da série de potência sumn=1^infty an x^n é R = 2. Isso porque, no teste da razão, quando |x| = R, a série está na fronteira entre convergência e divergência.
Passo 6
Portanto, o intervalo de convergência da série sumn=1^infty an x^n é |x| < 2. Além disso, precisamos verificar o que acontece nos pontos x = -2 e x = 2.
Passo 7
Sabemos que em x = 2, a série se torna sumn=1^infty an (2)^n = sumn=1^infty 2^n an, que sabemos que diverge. Em x = -2, a série fica sumn=1^infty an (-2)^n = sumn=1^infty (-1)^n 2^n an, que é justamente a série que converge condicionalmente.
Resposta
O intervalo de convergência da série sumn=1^infty an x^n é -2 <= x < 2.