Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
g) sumn=1^infty x^n n^nn^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty x^n n^nn^2
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que envolvem termos com elevado a alguma potência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série L = limn to infty | an+1an | , se o limite:
for menor que 1, ou seja, , a série converge absolutamente. Se , a série diverge, e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o an = x^n n^nn^2 = n^nn^2 x^n da nossa série:
an+1 = (n+1)^n+1(n+1)^2 x^n+1
E o próximo termo será:

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão:
| an+1an | = | (n+1)^n+1(n+1)^2 x^n+1n^nn^2 x^n | = | (n+1)^n+1 cdot n^2 cdot xn^n cdot (n+1)^2 |
Simplificando:
= | (n+1)^n-1n^n-2 x |

Passo 5

Vamos simplificar mais a expressão:
Sabemos que:
(n+1)^n-1n^n-2 = (n+1)^n(n+1) cdot n^n-2 = ( n+1n )^n cdot n^2n+1
E:
( n+1n )^n = ( 1 + 1n )^n approx e quando n to infty

Passo 6

Portanto, o limite fica:
L = limn to infty | e cdot n cdot x | = limn to infty e cdot n cdot |x|
Para a série convergir, precisamos que e cdot n cdot |x| < 1 :

Passo 7

Mas, olhando essa expressão, vemos que conforme cresce, também cresce sem limite, a menos que .
Então, a única solução que satisfaz para todo é .

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
d) sumn=0^infty n x^2 n
Seja sumn=1^infty(-1)^n 2^n an, an>0, uma série condicionalmente convergente. Encontre o intervalo de convergência da série sumn=1^infty an x^n. Justifique a sua resposta.
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c) f(x) = sen x
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a) f(x) = 3 - x^2 + 7 x^4 - x^5