Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a série de Maclaurin da função e encontrar o intervalo de convergência. Vamos usar o conteúdo de séries de potências, especificamente a definição da série de Taylor centrada em zero, que é a série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de , avaliá-las em
e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de até identificar um padrão.
-
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
: -
Terceira derivada:Avaliando em
: -
Quarta derivada:Avaliando em
:
Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro derivadas e que as derivadas de ordem par (segunda, quarta, …) avaliam para zero.
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Maclaurin substituindo na fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando, a série fica:
Passo 5
Podemos generalizar a série identificando o padrão dos coeficientes e dos expoentes. Observamos que os termos ímpares de
aparecem com sinais alternados. Assim, a série de Maclaurin para é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para é uma série de potências com raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo valor real de
. Portanto, o intervalo de convergência é:
Resposta
A série de Maclaurin para é:
E o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
g) .
g)
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
d)
d)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a)
a)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f)
f)