Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c) f(x) = sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a série de Maclaurin da função e encontrar o intervalo de convergência. Vamos usar o conteúdo de séries de potências, especificamente a definição da série de Taylor centrada em zero, que é a série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de , avaliá-las em e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para uma função é dada por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até identificar um padrão.
  • Primeira derivada:
    Avaliando em :
  • Segunda derivada:
    Avaliando em :
  • Terceira derivada:
    Avaliando em :
  • Quarta derivada:
    Avaliando em :
Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro derivadas e que as derivadas de ordem par (segunda, quarta, …) avaliam para zero.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Maclaurin substituindo na fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando, a série fica:

Passo 5

Podemos generalizar a série identificando o padrão dos coeficientes e dos expoentes. Observamos que os termos ímpares de aparecem com sinais alternados. Assim, a série de Maclaurin para é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para é uma série de potências com raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo valor real de -\infty, \infty. Portanto, o intervalo de convergência é:

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o intervalo de convergência é .

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Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
g) sumn=1^infty x^n n^nn^2.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
d) sumn=0^infty n x^2 n
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a) f(x) = 3 - x^2 + 7 x^4 - x^5
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f) f(x) = arctan(x)