Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
f) sumn=2^infty 9^n x^2 nln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=2^infty 9^n x^2nln n
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas envolvendo potências de . Para encontrar o intervalo onde essa série converge, vamos usar o Critério da Razão, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do critério:
sumn=2^infty (9x^2)^nln n
Isso porque an = (9x^2)^nln n . Agora, nossa série está na forma , onde:

Passo 3

Agora, aplicamos o Critério da Razão, que diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , se:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Calculando an+1an = (9x^2)^n+1ln (n+1) (9x^2)^nln n = (9x^2)^n+1 cdot ln n(9x^2)^n cdot ln (n+1) = 9x^2 cdot ln nln (n+1) :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 9x^2 cdot ln nln (n+1) tende ao infinito:
limn to infty ln nln (n+1) = 1
Sabemos que:
L = 9x^2 cdot 1 = 9x^2
Portanto:

Passo 6

Aplicando o Critério da Razão:
9x^2 < 1
Resolvendo para x^2 < 19 implies |x| < 13 :

Passo 7

Então, o raio de convergência é , e o intervalo de convergência é .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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b) sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1 x^n
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a) sumn=1^infty n^3(x-4)^n
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) sumn=1^infty n^3(2 x-43)^n.