Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas equações
e
. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente sobre regiões planas e seus centróides. Para resolver, vamos precisar calcular a área da região e usar integrais para encontrar as coordenadas do centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A equação
representa a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Já
é o eixo x. Então, a região delimitada por essas equações é o semicírculo superior.
Passo 3
Vamos calcular a área
dessa região. A fórmula para a área em coordenadas cartesianas é:
Aqui,
e
, pois o raio do círculo é 1. Substituindo
pela equação dada:
Essa integral é conhecida e resulta na área de um semicírculo:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centróide
.
Primeiro, pela simetria da região em relação ao eixo y, sabemos que
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Resposta
O centróide da região é
.
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
b)
b)
Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
a)
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
f)
f)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a)
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