Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
b) sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1 x^n. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências na matemática. Para descobrir o intervalo onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar limites de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série sum an, se o limite L = limn to infty | an+1an | existir, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na nossa série, temos an = n^3+n+1n^4+1 x^n. Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)^3 + (n+1) + 1(n+1)^4 + 1 x^n+1n^3+n+1n^4+1 x^n = (n+1)^3 + (n+1) + 1(n+1)^4 + 1 cdot n^4+1n^3+n+1 cdot x

Passo 4

Agora, vamos simplificar esse limite. Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
(n+1)^3(n+1)^4 cdot n^4n^3 cdot x = n^3n^4 cdot n^4n^3 cdot x = 1n cdot x
À medida que n tende ao infinito, 1n tende a 0. Portanto:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 1n cdot x | = 0 cdot |x| = 0

Passo 5

Como L = 0 é sempre menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para todo valor de x. Isso significa que não há restrição no valor de x para a convergência da série.

Resposta

O intervalo de convergência da série é boxed(-infty, infty).

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