Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências na matemática. Para descobrir o intervalo onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar limites de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , se o limite existir, então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão na nossa série, temos an = n^3+n+1n^4+1 x^n. Vamos calcular an+1an:
Agora, vamos simplificar esse limite. Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
(n+1)^3(n+1)^4 cdot n^4n^3 cdot x = n^3n^4 cdot n^4n^3 cdot x = 1n cdot x
À medida que n tende ao infinito, 1n tende a 0. Portanto:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 1n cdot x | = 0 cdot |x| = 0
Passo 5
Como L = 0 é sempre menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para todo valor de x. Isso significa que não há restrição no valor de x para a convergência da série.
Resposta
O intervalo de convergência da série é boxed(-infty, infty).