II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a) f(x) = 3 - x^2 + 7 x^4 - x^5

Passo 1

Beleza! Então, a questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função e o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é basicamente a expansão da função em torno de , usando potências de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar que polinômios já são suas próprias séries de Maclaurin, e que o raio de convergência para polinômios é infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da função . Observamos que é um polinômio com termos de diferentes potências de . Cada termo já está na forma de , que é a forma geral de uma série de Maclaurin.

Passo 3

Como a série de Maclaurin de uma função é dada por:
No caso de um polinômio, a série é finita porque só temos um número limitado de termos. Então, para , a série de Maclaurin já está escrita de forma direta:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. O raio de convergência indica para quais valores de a série converge para a função original. Para polinômios, como temos apenas um número finito de termos, a série converge para todos os valores de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados

Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c) f(x) = sen x
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
g) sumn=1^infty x^n n^nn^2.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f) f(x) = arctan(x)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k) f(x) = sen(x) cos(2x)