II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a)
a)
Passo 1
Beleza! Então, a questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função
e o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é basicamente a expansão da função em torno de
, usando potências de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que polinômios já são suas próprias séries de Maclaurin, e que o raio de convergência para polinômios é infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da função
. Observamos que é um polinômio com termos de diferentes potências de
. Cada termo já está na forma de
, que é a forma geral de uma série de Maclaurin.
Passo 3
Como a série de Maclaurin de uma função
é dada por:
No caso de um polinômio, a série é finita porque só temos um número limitado de termos. Então, para
, a série de Maclaurin já está escrita de forma direta:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. O raio de convergência indica para quais valores de
a série converge para a função original. Para polinômios, como temos apenas um número finito de termos, a série converge para todos os valores de
. Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
Exercícios relacionados
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c)
c)
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
g) .
g)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f)
f)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k)
k)