Suponha que a séric convirja e que divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas séries envolvendo os termos :
A série alternada que converge.
A série que diverge.
Queremos descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar de conceitos sobre convergência de séries, especialmente séries alternadas e o Teste da Razão (ou Teste da Raiz).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série alternada . Pelo Teste da Série Alternada, sabemos que essa série converge se:
Os termos são decrescentes.
.
Ou seja, tende a zero conforme cresce.
Passo 3
Agora, olhando para a série , que sabemos que diverge. Vamos aplicar o Teste da Razão para entender o comportamento dos .
O Teste da Razão diz que para a série , se:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste �� inconclusivo.
Aplicando isso à série , sabemos que ela diverge, então:
Isso implica que .
Passo 4
Voltando à série que queremos analisar, limsupn to infty raiz[n]|an| , vamos considerar o Teste da Raiz. Esse teste avalia:
limsupn to infty raiz[n]|an| < 1
Para a série 16 < limsupn to infty raiz[n]|an| <= 14 convergir, precisamos que:
Da nossa análise anterior, sabemos que:
Esse intervalo vem do fato de que converge (então ) e diverge (então ).
Passo 5
Como limsupn to infty raiz[n]|an| < 1 , e , concluímos que:
Segundo o Teste da Raiz, isso garante que a série converge absolutamente.