Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
a) sum an

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas séries envolvendo os termos :
  1. A série alternada que converge.
  2. A série que diverge.
Queremos descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar de conceitos sobre convergência de séries, especialmente séries alternadas e o Teste da Razão (ou Teste da Raiz).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série alternada . Pelo Teste da Série Alternada, sabemos que essa série converge se:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. .
Ou seja, tende a zero conforme cresce.

Passo 3

Agora, olhando para a série limn to infty | cn+1cn | = L , que sabemos que diverge. Vamos aplicar o Teste da Razão para entender o comportamento dos limn to infty | an+1 6^n+1an 6^n | = limn to infty | an+1an | cdot 6 = L cdot 6 > 1 .
O Teste da Razão diz que para a série , se:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste �� inconclusivo.
Aplicando isso à série , sabemos que ela diverge, então:
Isso implica que .

Passo 4

Voltando à série que queremos analisar, limsupn to infty raiz[n]|an| , vamos considerar o Teste da Raiz. Esse teste avalia:
limsupn to infty raiz[n]|an| < 1
Para a série 16 < limsupn to infty raiz[n]|an| <= 14 convergir, precisamos que:
Da nossa análise anterior, sabemos que:
Esse intervalo vem do fato de que converge (então ) e diverge (então ).

Passo 5

Como limsupn to infty raiz[n]|an| < 1 , e , concluímos que:
Segundo o Teste da Raiz, isso garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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