Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver os intervalos de convergência das duas séries dadas. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão e o Teste da Série Geométrica. Precisaremos entender um pouco sobre como aplicar esses testes para determinar para quais valores de
as séries convergem.
Passo 2
Série e):
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo fatoriais. O teste diz que a série
converge se:
Passo 3
Vamos calcular
an = (-1)^n x^2n(2n)! an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! = - (-1)^n x^2n+2(2n+2)! :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
limn to infty x^2(2n+2)(2n+1) = 0 tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de
. Ou seja, o intervalo de convergência é
(todos os números reais).
Passo 5
Série f):
Aqui, a série tem a forma de uma Série Geométrica, onde cada termo é uma potência de uma razão comum. A série geométrica
converge se
.
Passo 6
Vamos identificar a razão
r = (x^2 - 1x^2 + 4)^2 da nossa série:
Para que a série converja, precisamos que:
Como o quadrado de qualquer número real é não negativo, podemos simplificar:
Passo 7
Resolvendo a desigualdade:
Passo 8
Resolvendo
x^2 - 1 < x^2 + 4 -1 < 4 (sempre verdadeiro) :
Agora, resolvendo
:
Passo 9
Como ambas as condições são sempre verdadeiras para qualquer
real, a série geométrica converge para todo
em
.
Resposta
a) A série
converge para todo
.
b) A série
também converge para todo
.
Exercícios relacionados
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
a)sum x^nn^2
a)
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(a)y = -2/3 x + 2, y = 0, x = 0 .
(a)
Suponha que a séric
sum(-1)^n an 4^n convirja e que
sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
a)sum an
a)
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
b)sumn=1^infty n^3+n+1n^4+1 x^n
b)