Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
e) sum(-1)^n x^2 n(2 n)! f) sum(x^2-1x^2+4)^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver os intervalos de convergência das duas séries dadas. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão e o Teste da Série Geométrica. Precisaremos entender um pouco sobre como aplicar esses testes para determinar para quais valores de as séries convergem.

Passo 2

Série e): limn to infty | an+1an | < 1
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo fatoriais. O teste diz que a série converge se:

Passo 3

Vamos calcular an = (-1)^n x^2n(2n)! an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! = - (-1)^n x^2n+2(2n+2)! :
| an+1an | = | - (-1)^n x^2n+2(2n+2)!(-1)^n x^2n(2n)! | = x^2(2n+2)(2n+1)
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty x^2(2n+2)(2n+1) = 0 tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é (todos os números reais).

Passo 5

Série f):
Aqui, a série tem a forma de uma Série Geométrica, onde cada termo é uma potência de uma razão comum. A série geométrica converge se .

Passo 6

Vamos identificar a razão r = (x^2 - 1x^2 + 4)^2 da nossa série:
| (x^2 - 1x^2 + 4)^2 | < 1
Para que a série converja, precisamos que:
(x^2 - 1x^2 + 4)^2 < 1 Rightarrow | x^2 - 1x^2 + 4 | < 1
Como o quadrado de qualquer número real é não negativo, podemos simplificar:

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
| x^2 - 1x^2 + 4 | < 1 Rightarrow x^2 - 1x^2 + 4 < 1 e x^2 - 1x^2 + 4 > -1

Passo 8

Resolvendo x^2 - 1 < x^2 + 4 -1 < 4 (sempre verdadeiro) :
x^2 - 1 > - (x^2 + 4) x^2 - 1 > -x^2 - 4 2x^2 > -3 x^2 > -32 (sempre verdadeiro para todo x in R)
Agora, resolvendo :

Passo 9

Como ambas as condições são sempre verdadeiras para qualquer real, a série geométrica converge para todo em .

Resposta

a) A série converge para todo .
b) A série também converge para todo .

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Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
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a) sum an
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