Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem uma expressão envolvendo uma variável elevada a uma potência. Para descobrir o intervalo onde essa série converge (ou seja, onde ela soma para um valor finito), vamos precisar usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. A ideia é comparar o termo geral da série com o próximo termo e ver como eles se comportam conforme vai para o infinito.
Para nossa série, o termo geral é:
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Vamos substituir an+1an = ln (n+1)2^n+1(x-raiz2)^n+1ln n2^n(x-raiz2)^n e na expressão:
Passo 4
Simplificando a expressão acima:
an+1an = ln (n+1)ln n cdot 12 cdot (x-raiz2)
Então, o limite L = limn to infty | ln (n+1)ln n cdot 12 cdot (x-raiz2) | fica:
Passo 5
Analisando o limite, sabemos que:
limn to infty ln (n+1)ln n = 1
Portanto, o limite L = | 12 cdot (x-raiz2) | = 12 |x - raiz2| simplifica para:
Passo 6
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que 12 |x - raiz2| < 1:
|x - raiz2| < 2
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
A desigualdade raiz2 - 2 < x < raiz2 + 2 nos diz que está a menos de 2 unidades de . Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Então, o intervalo de convergência da série é de até . Precisamos verificar se as extremidades e também estão incluídas no intervalo, ou seja, se a série converge nesses pontos.
Passo 9
Vamos testar sumn=2^infty ln n2^n(-2)^n = sumn=2^infty ln n2^n cdot (-2)^n = sumn=2^infty ln n cdot (-1)^n:
Substituindo na série:
Essa série alternada não converge absolutamente, e como cresce sem limite, a série não converge.