Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos usar o conteúdo de séries de potências e, mais especificamente, o Teste da Razão para determinar para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. A série dada é:
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n = sumn=0^infty x cdot x^2n(-4)^n = x sumn=0^infty (x^2-4)^n
Isso nos mostra que a série é uma série geométrica multiplicada por .

Passo 3

Para séries de potências, o Teste da Razão é uma ferramenta poderosa para encontrar o intervalo de convergência. O teste diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na série:
an = x^2n+1(-4)^n e an+1 = x^2(n+1)+1(-4)^n+1 = x^2n+3(-4)^n+1
Agora, calculamos | an+1an | = | x^2n+3(-4)^n+1 cdot (-4)^nx^2n+1 | = | x^2-4 | = x^24 :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite conforme o Teste da Razão:
L = limn to infty x^24 = x^24
Para a série convergir, precisamos que x^24 < 1 Rightarrow x^2 < 4 Rightarrow |x| < 2 :

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados