Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos usar o conteúdo de séries de potências e, mais especificamente, o Teste da Razão para determinar para quais valores de essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. A série dada é:
Isso nos mostra que a série é uma série geométrica multiplicada por .
Passo 3
Para séries de potências, o Teste da Razão é uma ferramenta poderosa para encontrar o intervalo de convergência. O teste diz que se:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na série:
an = x^2n+1(-4)^n e an+1 = x^2(n+1)+1(-4)^n+1 = x^2n+3(-4)^n+1