Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
e) sumn=0^infty n x^n(n+1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de a série de potências converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries e como verificar a convergência delas. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil pra esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a achar o raio de convergência da série, ou seja, os valores de L = limn to infty | an+1an | para os quais a série converge. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Vamos identificar an = n x^n(n+1)^n na nossa série:
an+1an = (n+1) x^n+1(n+2)^n+1 times (n+1)^nn x^n = (n+1) xn ( n+1n+2 )^n+1
Agora, vamos montar a razão :

Passo 4

Vamos simplificar isso:
an+1an = (1 + 1n) x ( n+1n+2 )^n+1
Agora, vamos calcular o limite conforme L = limn to infty | (1 + 1n) x ( n+1n+2 )^n+1 | vai para o infinito:
limn to infty (1 + 1n) = 1
Sabemos que:
limn to infty ( n+1n+2 )^n+1 = e^-1
E:
L = |x| cdot e^-1
Portanto:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que |x| cdot e^-1 < 1 implies |x| < e :
Isso significa que a série converge para todos os cujo valor absoluto é menor que .

Passo 6

Agora, é importante verificar o que acontece quando sumn=0^infty n e^n(n+1)^n . Vamos testar sumn=0^infty n (-e)^n(n+1)^n e :
  • Para :
Aqui, a série não converge porque os termos não tendem a zero.
  • Para :
Novamente, os termos não tendem a zero, então a série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é , ou seja, .

Exercícios relacionados

Nos Problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçăo geral é definida. $ x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x $
Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c) sum(-1)^n an 3^n
b) Justifique em que intervalo vale a igualdade f^prime(x)=sumn=2^infty (n-1) x^n-2n^3.
I) Antes de começar o exercício liste as quatro séries de Maclaurin das funções mais vistas em sala de aula, dando seus respectivos raios de convergências.