Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas séries dadas:
- A série alternada
converge. - A série
diverge.
A questão pede para determinarmos se a série alternada
converge ou diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e o raio de convergência. Também vamos usar o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Vamos começar analisando a série
que sabemos que converge. Como é uma série alternada, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma
converge se:
-
é decrescente: para todo . -
.
Aqui,
. Então, para que a série converja,
deve diminuir e tender a zero conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, consideremos a série
que diverge. Isso indica que, quando multiplicamos os termos
por
, a soma não converge para um valor finito.
Isso nos dá uma pista sobre o raio de convergência
da série de potência
. Como
diverge, sabemos que
está fora do raio de convergência. E como
converge,
está dentro do raio de convergência.
Portanto,
.
Passo 4
Agora, queremos saber sobre a série
.
Como
, o valor
está dentro do raio de convergência
. Isso significa que a série de potência
converge absolutamente.
Quando uma série converge absolutamente, qualquer forma alternada dela também converge. Portanto, a série alternada
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d)
d)
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) .
a)
Nos Problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçăo geral é definida. $ x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x $
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
e)
e)