Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c) sum(-1)^n an 3^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas séries dadas:
  1. A série alternada converge.
  2. A série diverge.
A questão pede para determinarmos se a série alternada converge ou diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e o raio de convergência. Também vamos usar o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Vamos começar analisando a série que sabemos que converge. Como é uma série alternada, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. é decrescente: para todo .
  2. .
Aqui, . Então, para que a série converja, deve diminuir e tender a zero conforme aumenta.

Passo 3

Agora, consideremos a série que diverge. Isso indica que, quando multiplicamos os termos por , a soma não converge para um valor finito.
Isso nos dá uma pista sobre o raio de convergência da série de potência . Como diverge, sabemos que está fora do raio de convergência. E como converge, está dentro do raio de convergência.
Portanto, .

Passo 4

Agora, queremos saber sobre a série .
Como , o valor está dentro do raio de convergência . Isso significa que a série de potência converge absolutamente.
Quando uma série converge absolutamente, qualquer forma alternada dela também converge. Portanto, a série alternada também converge.

Resposta

A série converge.

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