Nos Problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçăo geral é definida. $ x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x $
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como rearranjar a equação para aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Agora, a equação está na forma:
onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Como estamos assumindo
(para evitar divisão por zero), podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária. Essa solução está definida para todo
.
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Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c)
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d)
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
e)
e)
b) Justifique em que intervalo vale a igualdade
.