Nos Problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçăo geral é definida. $ x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x $

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como rearranjar a equação para aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear. Para isso, dividimos todos os termos por :
Agora, a equação está na forma:
onde:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:
Como estamos assumindo (para evitar divisão por zero), podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária. Essa solução está definida para todo .

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